差分约束系统

目前，差分约束系统在当代的应用可谓是越来越广泛，差分约束系统是值得我们好好学习的。现在我们就深入了解差分约束系统，希望本文能对各位读者有比较大的参考价值。

差分约束系统（system of difference constraints），是求解关于一组变量的特殊不等式组之方法。如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如：xj-xi<=bk（i,j∈[1,n],k∈[1,m]）。 如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

差分约束系统解法

差分约束系统

求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最长路径问题。观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v] <=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边（i,j），边权为bk。再增加一个原点（s,s）与所有定点相连，边权均为0。对这个图以s为原点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[i]}即为一组可行解。

例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足： 　　这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：x1-x2≤0 　　x1-x5≤-1 　　x2-x5≤1 　　x3-x1≤5 　　x4-x1≤4 　　x4-x3≤-1 　　x5-x3≤-3 　　x5-x4≤-3 　　该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大 5。 　　引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统 Ax≤b的一个解。 　　bellman-ford算法伪代码： 　　for each v V do d[v] <-- 无限大; d[s] <-- 0 　　Relaxation 　　for i =1,...,|V|-1 do 　　for each edge (u,v) 属于 E do 　　d[v] <-- min{d[v], d[u]+w(u,v)} 　　Negative cycle checking 　　for each v 属于V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution。

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

差分约束系统

综上所述，本文已为讲解差分约束系统，相信大家对差分约束系统的认识越来越深入，希望本文能对各位读者有比较大的参考价值。

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