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差分方程,差分方程的应用

差分方程,我们在日常生活、工作中都经常用到,但不知道大家对“差分方程,差分方程的应用”是否知道呢?本文收集整理了一些资料,希望本文能对各位读者有比较大的参考价值。  ---查看全文 >>

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差分方程的应用
差分方程的应用

差分方程是含有未知函数及其导数的方程,满足该方程的函数称为差分方程的解。

设函数yt=f(t)在 t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为   Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。

依此定义类推,有    Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………

一阶差分的性质

(1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0;

(2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt;

(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。

函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即

          D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt

               =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt.

依此定义类推,有

D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,………………

类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分

D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,

D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,    ………………


差分方程的性质:


性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn

性质2 Δk(cxn)=cΔkxn

性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j

性质4 数列的通项为n的无限次可导函数,对任意k>=1,存在η,有 Δkxn=f(k)(η)

差分方程

定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程:

xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……)

其中a1,a2,------ak 为常数, ak≠0. 若b=0,则该 方程是齐次方程

关于λ 的代数方程

λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0

为对应的特征方程,根为特征值。

差分方程的应用:

差分方程的应用
差分方程的应用

在经济与管理及其它实际问题中,许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如,银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息,外贸出口额按月统计,国民收入按年统计,产品的产量按月统计等等。这些量是变量,通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量,差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。

本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法,与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似,可对照微分方程的知识学习本章内容...

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