差分方程，差分方程的应用

差分方程，我们在日常生活、工作中都经常用到，但不知道大家对“差分方程，差分方程的应用”是否知道呢？本文收集整理了一些资料，希望本文能对各位读者有比较大的参考价值。

差分方程的应用

差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。

设函数yt=f(t)在 t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为   Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。

依此定义类推，有    Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………

一阶差分的性质

(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；

(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；

(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。

函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即

          D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt

               =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．

依此定义类推，有

D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………

类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分

D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，

D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，    ………………

差分方程的性质：

性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn

性质2 Δk(cxn)=cΔkxn

性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j

性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有 Δkxn=f(k)(η)

差分方程

定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程：

xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……)

其中a1,a2,------ak 为常数， ak≠0. 若b=0,则该 方程是齐次方程

关于λ 的代数方程

λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0

为对应的特征方程，根为特征值。

差分方程的应用：

差分方程的应用

在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。

本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容...

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综上所述，本文已为讲解差分方程，差分方程的应用，相信大家对差分方程，差分方程的应用的认识越来越深入，希望本文能对各位读者有比较大的参考价值。

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