二叉树的基本性质
目前，二叉树的基本性质在当代的应用可谓是越来越广泛，二叉树的基本性质是值得我们好好学习的，现在我们就深入了解二叉树的基本性质。
二叉树的性质
（1） 在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；
解释：最多的时候是满二叉树，它的第1层有21-1=1个结点；第2层有22-1=2个结点；第3层23-1=4个结点；第4层有24-1=8个结点；……
（2） 深度为m的二叉树最多有2m-1个结点，最少有m个结点；
（3）对于任意一棵二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；即如果其叶子结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
（4） 具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]+1表示取log2n的整数部分；
（5）给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树；h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
（6） 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1；
（7） 设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，….n给结点进行编号（k=1,2….n），有以下结论：
①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)；
②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（也无右子结点）；
③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。
性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。
证明 采用归纳法证明此性质。
当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20 =1,命题成立。
现在假定对所有的j，1<=j<i,命题成立，即第j层上至多有2j-2个结点，
那么可以证明j＝i时命题也成立。由归纳假设可知，第i－1层上至多有2i-2个结点。
由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i－1
层上最大结点数的二倍， 即2×（2i-2）＝2i-1。
性质2 深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1)。
证明 第i层的结点数为xi（1≤i≤k），深度为k的二叉树的结点数为M，xi最多为2i-1，则有：
性质3 对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为n0，度数为2的结点数为n2，则有n0＝n2＋1。
证明 设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，所以有：
N＝n0＋n1＋n2 (5-1)
再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数，则有：
N＝B＋1。
由于这些分支都是由度为1和2的结点发出的，所以有：
B＝n1+2*n2
N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1 (5-2)
由式(5-1)和(5-2)得到：
n0＋n1＋n2 = n1＋2×n2＋1
n0＝n2＋1
性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 。
证明 设所求完全二叉树的深度为k,根据完全二叉树的定义和性质2可知，k-1层满二叉树的结点个数为n时，有
2k－1－1<n≤2k-1
即2k－1≤n<2k
对不等式取对数，有
k－1≤log2n<k
由于k是整数，所以有k-1＝，k=,结论成立。
性质5 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第 +1层，每层从左到右),则对任一结点i（1<=i<=n),有：
（1）如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点。
（2）如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。
（3）如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i＋1。
此外，若对二叉树的根结点从0开始编号，则相应的i号结点的双亲结点的编号为（i－1）/2，左孩子的编号为2i＋1，右孩子的编号为2i＋2。
二叉树的性质
此性质可采用数学归纳法证明。证明略。
这个性质是一般二叉树顺序存储的重要基础。
下面介绍两种特殊形态的二叉树：满二叉树和完全二叉树。
一棵深度为k且由2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。图5-3（a）就是一棵满二叉树，对结点进行了顺序编号。图5-3（b）图则不是满二叉树，因为，虽然其所有结点要么是含有左右子树的分支结点，要么是叶子结点，但由于其叶子未在同一层上，故不是满二叉树。
综上所述，本文已为讲解二叉树的性质，相信大家对二叉树的性质的认识越来越深入，希望本文能对各位读者有比较大的参考价值。
浏览过本文<二叉树的性质>文的人也浏览了
二叉树算法
http://baike.cntronics.com/abc/2045
二叉树排序
http://baike.cntronics.com/abc/2048
二叉树的深度
http://baike.cntronics.com/abc/2047
